最长公共子序列(LCS)的动态规划算法

在计算机科学领域，最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题是一个经典的动态规划问题。该问题涉及找到两个序列中共同拥有的最长子序列。在解决LCS问题时，动态规划方法通常被采用，因为它允许我们通过构建一个表格来有效地解决问题，避免了重复计算，并最终通过回溯确定解。

问题定义

给定两个字符串X = X1...Xm和Y = Y1...Yn，求出它们的最长公共子序列长度以及该子序列本身。

动态规划解法

步骤一：初始化状态转移矩阵

创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串X的前i个字符与字符串Y的前j个字符之间的最长公共子序列的长度。

步骤二：填充状态转移矩阵

对于i从1到m，对于j从1到n：

• 如果Xi == Yj，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

步骤三：回溯获取最长公共子序列

从dp[m][n]开始，回溯到dp[0][0]，记录每次状态转移的路径，即当dp[i][j] != dp[i-1][j-1] + 1时，根据dp[i][j]来自dp[i-1][j]还是dp[i][j-1]，来决定当前字符是否包含在LCS中。

示例代码（使用JavaScript）

function longestCommonSubsequence(X, Y) {
    let m = X.length;
    let n = Y.length;
    let dp = Array.from({length: m + 1}, () => Array(n + 1).fill(0));

    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            if (X[i - 1] === Y[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }

    // 获取最长公共子序列
    let lcs = [];
    let i = m, j = n;
    while (i > 0 && j > 0) {
        if (X[i - 1] === Y[j - 1]) {
            lcs.unshift(X[i - 1]);
            i--;
            j--;
        } else if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
            i--;
        } else {
            j--;
        }
    }

    return {length: dp[m][n], sequence: lcs.join('')};
}

// 测试代码
const X = "ABCBDAB";
const Y = "BDCAB";
console.log(longestCommonSubsequence(X, Y));

输出解释

上述代码输出的结果是一个对象，包含了最长公共子序列的长度和子序列本身。对于示例输入X = "ABCBDAB"和Y = "BDCAB"，输出将是{length: 4, sequence: "BCAB"}，表明最长公共子序列为BCAB，长度为4。

结论

通过动态规划方法解决最长公共子序列问题，不仅可以高效地找到解决方案，而且能够清晰地理解问题的递归结构，从而为更复杂的问题提供解决思路。